Sequência Fibonacci

Olá pessoal,

Fiquei devendo ontem a publicação sobre sequência Fibonacci, e peço desculpa pelo atraso. Esta publicação irá responder quatro perguntas a respeito de sequência Fibonacci, que são: O que é? Quem criou ou desenvolveu? Como foi criada ou desenvolvida? Para que serve, ou qual sua utilidade?

Muitas sequências são “geradas” de observações do cotidiano. Uma dessas sequências, muito famosa, presente em vários filmes de ficção como O Código Da Vinci (Buena Vista, 2006), é a sequência de Fibonacci. 

Leonardo de Pisa (Fibonacci = filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abacci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.

Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

Com essas condições, inicia-se a construção da sequência:

No 1º mês há apenas 1 casal de coelhos. Como a maturidade sexual dos coelhos dá-se somente a partir do segundo mês de vida, no mês seguinte continua havendo apenas 1 casal. No 3º mês teremos o nascimento de mais um casal, totalizando 2 casais. No 4º mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo casal inicial, (visto que o segundo ainda não amadureceu sexualmente ) teremos 3 casais. No mês seguinte (5º), com nascimento de dois novos casais gerados pelo casal 1 e pelo casal 2, totalizam-se 5 casais.

Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a sequência:

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...]

Ela representa a quantidade de casais de coelhos mês a mês. Observando com mais cuidado, pode-se perceber que qualquer termo posterior dessa sequência é obtido adicionando os dois termos anteriores. Vejamos: O 6º termo da sequência é 8. Somando os dois termos anteriores 5+3 =8.

Assim, 89 é o termo que virá após 55, pois 34 + 55 = 89. Dessa forma, para determinar o próximo basta fazer 89 + 55 = 144, e assim por diante.

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

1º termo somado com o 2º termo gera o 3º termo

2º termo somado com o 3º termo gera o 4º termo

3º termo somado com o 4º termo gera o 5º termo

Continua ...

Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:

u(1) + u(2) = u(3)

u(2) + u(3) = u(4)

u(3) + u(4) = u(5)

u(4) + u(5) = u(6)

...   ...   ...

Que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.

Em geral, temos:

u(n+1) = u(n-1) + u(n)

Veja algumas exemplos das aplicação da seqüência de Fibonacci e entenda por que ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática.

A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3x2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5x3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci.

Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elemento da seqüência de Fibonacci.

O Partenon que foi construído em Atenas pelo celebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro.

Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos:

Como:

Substituindo, temos:

Resolvendo a equação:

 em que:  não convém

Logo:

Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:

Todo retângulo em que a razão entre o maior e o menor lado for igual a Φ é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon.

Exemplos na natureza em que a sequência ou a espiral de Fibonacci aparece:

Concha de caramujo: Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois antecessores.

Camaleão: Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da espiral de Fibonacci.

Elefante: Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo, adivinhe qual seria o formato?

Girassol: Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-horário.

Pinha: As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário.

Poema contadinho: Acharam o “número de ouro” até na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada, épico de Homero sobre os últimos dias da Guerra de Troia.

A beleza descrita em números: A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é representada pela letra grega phi: φ

Artes: Esse recurso matemático também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto.

As grande pirâmides: Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura.

Rosto: Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618.

Corpo: Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618.

Aplicações das Sequências de Fibonacci

Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida? A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. Apresentamos uma lista modesta e que poderá ser ampliada facilmente se o visitante procurar mais na literatura.

1. Estudo genealógico de coelhos
2. Estudo genealógico de abelhas
3. Comportamento da luz
4. Comportamento de átomos
5. Crescimento de plantas
6. Ascensão e queda em bolsas de valores
7. Probabilidade e Estatística

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Fontes: 

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-fibonacci.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm

http://www.infoescola.com/matematica/sequencia-de-fibonacci/

http://mundoestranho.abril.com.br/ciencia/o-que-e-a-sequencia-de-fibonacci/